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FITELLIPSOID:一个快速的监督椭球分割插件

抽象的

背景

3D图像的分割是一项可能在某些情况下几乎可以自动化的任务,特别是当对比度低并且元件之间的距离小时时。现有的监督方法需要大量的用户输入,例如,在所有平面部分中描绘域名。

结果

我们呈现FitEllipsoID,这是一个监督的分割代码,允许将椭球拟合到具有最小相互作用量的3D图像:用户点击对象边界上的几个点上的3个正交视图。椭圆体分割的定量几何结果可以作为CSV文件或二进制图像导出。代码的核心基于原始计算方法,以以仿射不变的方式将椭圆体拟合到点云。通过在肿瘤球状体中分割大量3D核来验证插件,允许分析其形状的分布。用户实验表明,大量核收集可以高精度地分段比通过切片描绘方法更快地具有比较传统的2D切片更快。

结论

我们设计了一种用户友好的软件FitEllipsoID,可以以监督方式分段数百个椭圆形状。它可以直接用于分析生物样本,或生成培训学习算法所需的分割数据库。该算法作为在图像分析软件中使用的开源插件分发。我们还提供GitHub可用的Matlab工具箱。

背景

开始观察

在2D或3D图像中分段椭圆形结构用于表征器官,组织,细胞,核或其他细胞组织的形状[1-3.],或作为更高级算法的初始化,如活动轮廓[4.-7.].

而全自动检测算法[8.-11.]可能是限制主观性和分析时间的理想工具,当图像遭受强烈的降解时(例如模糊,噪音,低分辨率)或含有密集包装的物体时,现有策略不足以提供令人信服的分割结果。此外,自动方法通常需要调谐几个参数,这可能比使用简单的监督分段算法更耗时。最后,生成学习数据库或用于测试和比较现有分段算法的金标仍需要高效的监督算法。遗憾的是,据我们所知,目前没有这种自由的工具,这将有利于许多不同的社区。

贡献

这几个考虑因素激励我们为冰冷图像分析软件开发两个简单插件[12.基于一种新的计算方法。他们致力于在二维图像中拟合椭圆或在三维图像中拟合椭球。本文的目的是提出三维椭球的方法和描述插件。

该算法的核心包括解决从点云的椭圆体拟合良好的研究问题。这是一个令人难度的难题问题,吸引了来自不同领域的研究人员的注意力,如计算机视觉,统计或数值分析,命名几个[13.-26.].我们提出了一种原始和强大的计算算法,这些算法与最近的工作共享相同的精神[26.]但是当椭圆虫未居中或各向异性时显着优于它。所提出的算法的一个重要特征是仿射不变性:在计算之前注册点云,确保了较强的行为,无论点云的形状如何。

所提出的算法不仅在ICY插件内共享,而且还通过在GitHub存储库上传递的一组Matlab代码进行共享[27.].据我们所知,FitEllipsoid是第一个允许拟合椭球而不是更一般的二次曲面(如双曲线)的开源工具箱。

为了展示插件的有用性,我们建议检查3D肿瘤球状体中核形状的形态和分布。它们是否相当细长,球形或这些?使用FITELLIPSOID,我们从光学清除的球体的3D尖端图像获得了数百个核的形状。

执行

规格

此插件的主要目标是为用户提供椭圆体对象的准确分割,同时满足以下约束:

  • 允许3D可视化以允许对分割的目视检查,

  • 最小化用户交互所需的时间。这在生物学中尤为重要,其中必须经常分析数百或数千个物体,

  • 将结果导出为其他程序可以用于进一步处理的文件,

  • 提供免费和开源软件。

描述

需要一种专用于生物医学成像的自由软件,使我们面向最近发达的成像工具冰冷[12.].它基于VTK(可视化工具包)[28.],允许漂亮的3D可视化。

椭圆体可以以不同的方式表示:

  • 中心(3个参数),三个旋转角度和每个轴的长度(3个参数)。

  • 中心(3个参数),三个轴(通过正交关系链接的9个参数)和每个轴的长度(3个参数)。

  • 中心(3个参数)和正对称的确定矩阵(6系数)。

不幸的是,人类可以很容易地使用这些表示。例如,只需查看图像即可恰好查找椭圆体的中心将导致不准确的结果。

FitEllipsoID中采用的策略是要求用户在对象的边界上选择几个点3D,然后插件然后创建大约通过它们的椭圆体。为了在对象边界上选择点,我们让用户在3个正交2D视图上选择点(参见图4。1)。

图。1
图1

在合成三维图像的正交视图中选择点。顶部:红色的是用户选择的点数。底部:3个正交视图。按照惯例,视图(从左上角顺时针方向)位于各自的平面(XY, YZ, XZ)。

从理论上讲,在知道躺在其表面上的通用位置小到9点时,可以完美地重建椭球(参见附加文件1详细讨论)。仅具有9个点的估计可能对噪声不稳定,由于用户的不完美的像素选择,这不能避免。因此,我们让用户根据需要选择边界上的多个点。

正交视图可能是与3D环境交互的最简单方法,它们在生物医学成像中非常常见(参见例如[29.])。用户首先选择3D空间中的点来定义3个感兴趣的平面,然后锁定视图以单击每个平面上的几个点。可以在多个正交视图上重复该操作以更均匀地对象表面进行采样。When enough points have been selected, an algorithm described in the next section fits an ellipsoid to the point cloud.在必须装配多个椭圆体的情况下,可以重复该操作。通过图1的点选择获得的结果。1显示在图1中。2

图2
图2.

拟合结果在图1的合成3D图像上。1.顶部:正交视图。底部:3D渲染

除了三维可视化,椭球参数(中心、轴方向和轴长度)保存在一个CSV文件中,可以使用标准电子表格或科学计算软件读取。此外,还可以保存指示每个椭球内部的三维二值图像。

教程

这里提供了一个视频教程http://youtu.be/MjotgTZi6RQ.它描述了插件的主要功能。

数学描述

给定一组NX=(X一世1≤.一世≤.NR.D., 在哪里D.= 2或3,本节的目的是描述一种快速且强大的算法,以将椭圆体适合于这些点。这是在40多个汇报中研究过的长期问题。我们参考这本书[25.],以获得更全面的概述。为解决这一问题,提出了两种主要方法。

几何方法这种方法是提出的[13.16.22.].它包括找到椭球E.这最小化了以下最小二乘问题:

$ $ F (E) = \ \ limits_总和{i = 1} ^ {n}{经销}\文本(间的{},E) ^ {2}, $ $
(1)

dist(X一世E.)= Inf.XE.X-X一世到这个点的欧几里得距离是多少X一世到椭圆体E..虽然这个公式有一个明确的几何意义,但它是高度非凸的。因此,从计算的角度来看,设计全局极小化方法是繁重的。

代数方法这种方法是本文采用的方法。椭圆形E.可以用一个三元组(一种B.C)通过表格的隐式方程式

$$ e = \ left \ {x \ in \ mathbf {r} ^ {d},\ langle x,ax \ rangle + rangle b,x \ rangle + c = 0 \ right \},$$
(2)

在哪里一种R.D.×D.是一个对称的正定矩阵,B.R.D.是矢量和CR.是一个标量。

代数方法包括最小化以下残差

$$ g(x,a,b,c)= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n}(\ langle x_ {i},{ax} _ {i} \ rangle + \ langle b,x_ {i} \ rangle + c)^ {2},$$
(3)

过了一套\(\ mathcal {m} \)受理三胞胎(一种B.C)。唯一的积极明确条件一种自最大值以来,0是不够的G在这组正半定矩阵(一种B.C) =(0, 0, 0)。为了避免繁琐的解,需要增加一个归一化条件。文献中考虑了各种可能性。我们采用[17.]包括强加TR(一种)= 1。该选择具有导致凸约束的优点,从而允许设计有效的数字算法。总的来说,这里考虑的优化问题读了

$ min_{(A,b,c) \in \mathcal{M}} G(X,A,b,c
(4)

在哪里\(\ mathcal {m} = \ left \ {(a,b,c)\ in \ mathbf {r} ^ {d \ times d} \ times \ mathbf {r} ^ {d} \ times \ mathbf {r},a \ succeq 0,\ text {tr}(a)= 1 \右\} \)

此具体制定的利益如下:

∙存在至少一个最小化器。而且,如果点数N满足ND.D.+1)/ 2 +D.点处于通用位置,然后最小化器是唯一的,见图。3.在2d中为插图和附加文件1证明。

图3.
图3.

一系列椭圆形通过4分。在维度D.= 2确保唯一性所需的最小点数是N= 5

∙最小化器是输入点位置的转换和旋转的协变量X.更准确地说,让\ E帽子(\ \)表示(椭圆形)的椭圆体溶液(4.) 和\(\恨'\)表示通过求解获得的椭圆体(4.)输入坐标X'=(X一世')1≤.一世≤.N, 在哪里X一世'=R.X一世+T.R.R.D.×D.是一个旋转矩阵和T.R.D.是翻译矢量。然后\(\ hat e'= r \ hat e + t \).此属性的证明在附加文件中详述1

数值算法

在 [17.],Calafiore建议重新制定(4.)作为半定程序,并使用内部点类型方法来解决它。已知这种类型的算法是坚固可靠的,但相当难以实现。此外,常见的原始 - 双重内部点方法[23.]复杂性与输入数据点的数量不太好N.基于此观察,林和黄[26.]设计了一种基于乘法器(ADMM)的交替方向方法来解决问题的方法(4.)。虽然这种方法的迭代复杂性低于内部点方法的迭代复杂性,但迭代的数量是难以控制的理论观点,并且我们将通过数值实验表明它可能非常大,以产生令人满意的解决方案.我们提出了更加强大的方法在下面。

在2D中,这个点X一世属于由(一种B.C)可以被改写为紧凑格式(参见例[13.]):

$$ \ langle d_ {i},q \ rangle = 0,$$

在哪里

$$ \ begin {array} {* {20} l} d_ {i}&= \ left(x_ {i} [1] ^ {2},x_ {i} [2] ^ {2},\ sqrt {2} x_ {i} [1] x_ {i} [2],x_ {i} [1],x_ {i} [2],1 \右)^ {t},\\ q&= \ left(a_{1,1},\ {2,2},\ SQRT {2} A_ {1,2},B_ {1},B_ {2},C \右)^ {t},\ END {array} $$

我们表示X一世[j] 这j关键的坐标X一世.现在,放手D.= [D.1,......,D.N],目标函数G可以重写为

$ G(X,q) = {|D^{T} q \|^{2}。$$
(5)

在3D中,可以执行类似的分解,请参阅附加文件中的详细信息1

m=D.D.+1)/ 2 +D.+1表示参数的数量问:.这组可接受的载体\ (\ mathcal {Q} \)被定义为

$$ \ mathcal {q} = \左\ {q \ in \ mathbf {r} ^ {m},\ text {tr}(\ mathcal {a}(q))= 1,\ mathcal {a}(q)\ succeq 0 \ right \},$$
(6)

在哪里\ (\ mathcal{一}:\ mathbf {R} ^ {m} \ \ mathbf {R} ^ d \ d {} \)是关联矩阵的线性映射一种向量问:.随着拟议的符号,问题(4.)简化以下凸面问题:

$$ \ min_ {q \ in \ mathcal {q}} \ | d ^ {t} q \ | ^ {2}。$$
(7)

我们解决(7.)使用Douglas-Rachford算法,该算法首先由狮子和梅蒂尔提出[30.].详情见附加文件1

不变性转换变换

算法的不行性

如上所述,最小化者(7.)是异构体的协调性。然而,算法不是,这在附加文件中示出了1.而且,(4.)不是不变的仿射变换,这将是一个理想的财产。我们建议解决以下两个问题。在[15.]对于球形的具体情况。

使用SVD确保不变性

为了确保算法的不变性,我们更改坐标系,并使用与相同的协方差矩阵以相同的协方差矩阵为中心的点云。我们在修改系统中获得椭圆体,最后将其映射回原始的系统。这可以使用奇异值分解来实现,如附加文件中所述1

结果

优化算法的性能

我们在附加文件中报告1对二维数据进行了实验和比较,并对三维数据进行了噪声鲁棒性研究。我们表明,我们的数值方法从不需要超过200次的廉价迭代来达到机器精度,而非标准化方法可能需要任意大的计算时间,取决于点集的位置。此外,我们提供了与更简单的LLS算法的比较[14.并表现出对噪声的改进鲁棒性。

合成数据的分割实验

为了评估插件的效率:用户的准确性,再现性和时间的互动时间,我们设计了由145€组成的合成3D图像脚注1椭圆体模仿肿瘤球状体,见图。4..可以使用GitHub上可用的代码再现此图像。通过标准偏差的高斯内核模糊图像,该标准偏差等于1.5像素,以模仿真实显微镜发生的情况。要求三个用户分割所有椭球,并时间为他们的任务。然后将分段结果与地面真理进行比较。结果显示在表中1.The column labelled ’time’ displays the average time spent by the user (in seconds) to segment one ellipsoid, the column ’center’ provides the average error (in pixel) between the true location of the center and the estimated one, the column ’angle’ corresponds to the average error (in degrees) of the orientation of the minor axis, and the column ’length’ corresponds to the average error (in pixels) on the 3 axes lengths.

图4.
装具

合成球体用于评估插件的准确性。左:3个正交视图,右:3D渲染

表1 3个不同用户的分割时间和准确性

注意,在中心位置和轴长上的精度低于1.5像素的分辨率。因此,我们可以声称我们的插件可以在几秒钟内获得完美椭球体的亚分辨率结果。注意,这个时间是用户选择点数所需的时间,计算时间以秒为单位。此外,角度精度也令人满意,表明该插件可以用于分析大量对象的几何。

真正的3D肿瘤球状体的分割实验

插件FITELLIPSOID用于在球状体中分段细胞核。我们在图1和图中展示。5.6.3D肿瘤球状体的两个例子。图中的一个。5.是大直径为500微米的球形,导致图像质量差,由于光散射和吸收。数字6.呈现较小的球形,直径为150微米。

图5.
figure5

细胞核的分割在真正的3D图像上。从上到下:在3个正交视图上选择的点,3D渲染分割结果

图6.
figure6

在真正的3D图像上的细胞核分割。从左到右:3个正交视图上的分段椭圆,3D渲染分割结果,插件提供的二进制图像的3D渲染

我们解决的生物问题是通过估计其半轴长度来估计核的形状分布123..已经探索了两种不同的实验条件:用Latrunculin治疗8小时的未经处理的自由生长的球体和球状体,该药物诱使肌动蛋白是细胞骨架的药物。

我们将Fitellipsoid用于细分N= 708个核X= 19控制球体和N= 266个核X=7个经拉春库林处理的球体。我们展示了联合分布的2d直方图2/1vs.3./2对于图1中的每个条件。7..一个环形球体(橄榄球球)满足3./21和2/1<1和在该图上,它对应于单位方形的右边界的点。一侧的扁球石,满足3./2<1和2/1它对应于广场顶部边界的点。球体恰逢其一致3./2=2/1= 1,这是右上角。

图7.
figure7

对照和拉脱突蛋白处理的球状体的核几何分析。左和中心:代表比率的2D直方图2/1vs.3./2对于控制(左)和经处理的球状体(中心)。红十字表示分布的平均值。右:1D宽高比的直方图3./1用于控制和处理的球状体

在直方图上,我们可以观察到沿对角线的分布较密集,没有明显的向长扁状或扁状的趋势。然而,很明显,原子核不是球形的。图右侧的1D直方图。7.表明纵横比(定义为3./1当从处理到对照球状体的处理时,核被移向1。对于对照球体的平均纵横比为0.58,对于Latrunculin处理的球体0.63。

总的来说,我们看到插件允许区分微妙但统计上的形状变化。

结论

Fitellipsoid是一个强大的监督椭球分割的工具,具有用户友好的界面。该软件的计算部分基于仿射变换不变的新算法。它允许分割数百个细胞核以分析它们的形状。

笔记

  1. 1。

    我们使用这种几何形状,因为我们认为它将对应于在真实肿瘤球状体中观察到的内容。我们稍后会看到这实际上不是这种情况。

缩写

ADMM:

乘法器的交替方向方法

CSV:

昏迷分隔的值

LLS:

线性最小二乘法

尖端:

单架成像显微镜

VTK:

可视化工具包

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下载参考

致谢

作者希望感谢Guillaume de Britro帮助实现插件的2D版本,以及Bernard Ducommun和ValérieLobjois对用户界面的有用评论。

资金

这项工作是由计划癌症MIMMOSA和Optimus项目的支持,由FinationInnaBiosanté资助的。

作者信息

从属关系

作者

贡献

JF和PW领导了这个项目,开发了数学理论和插件原理,撰写了论文并进行了数值实验。BK和PW实现了插件。PW制作了视频教程。LG获得真实的3D图像,使用插件分割球体,并进行形状统计。所有作者阅读并批准了最终的手稿。

相应的作者

对应于杰罗姆·菲润巴赫

伦理宣言

伦理批准和同意参与

不适用。

同意出版物

所有作者都同意了本出版物。

利益争夺

提交人声明他们没有竞争利益。

出版商的注意

欧宝体育黑玩家Springer Nature在发表地图和机构附属机构中的司法管辖权索赔方面仍然是中立的。

额外的信息

可用性数据和材料

冰冷的插件可用于:http://icy.bioimageanalysis.org/plugin/FitEllipsoid源代码可用:https://github.com/pierre-weiss/FitEllipsoid

附加文件

附加文件1

该文件包含关于我们的方法,详细算法和定量2D以及3D比较以及其他方法的数学事实和证明。(PDF 496 KB)

权利和权限

开放访问本文根据创意公约署署署的条款分发了4.0国际许可证(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)如果您向原始作者和源给出适当的信用,则允许在任何介质中进行不受限制的使用,分发和再现,提供指向Creative Commons许可证的链接,并指示是否进行了更改。Creative Commons公共领域奉献豁免(http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)适用于本条提供的数据,除非另有说明。

重印和权限

关于这篇文章

通过Crossmark验证货币和真实性

引用这篇文章

科瓦奇;菲伦巴赫;纪尧姆;等等。FITELLIPSOID:一个快速的监督椭球分割插件。欧宝娱乐合法吗20.142(2019)。https://doi.org/10.1186/s12859-019-2673-0

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关键词

  • 监督分割
  • 椭球体
  • 冰冷的插件
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